Povijesti Podcasti

Posmrtni život u staroj Grčkoj

Posmrtni život u staroj Grčkoj


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

U staroj Grčkoj daljnje postojanje mrtvih ovisilo je o stalnom sjećanju živih. Posmrtni život za stare Grke sastojao se od sivog i turobnog svijeta u doba Homera (8. stoljeće prije nove ere), a najpoznatije je mjesto iz Homerovog Odiseja u kojem Odisej susreće duh velikog ratnika Ahila u donjem svijetu gdje mu Ahilej kaže da bi radije bio rob bez zemlje na zemlji nego kralj u podzemlju. Međutim, do Platona (4. stoljeće prije nove ere) zagrobni život se promijenio u karakteru tako da su duše bile bolje nagrađene za svoje boli nakon što su napustile zemlju; ali samo u onoj mjeri u kojoj su živi održavali živo sjećanje.

Zemlja mrtvih

Zagrobni život bio je poznat kao Had i bio je sivi svijet kojim je vladao Gospodar mrtvih, također poznat kao Had. Unutar ovog maglovitog područja, međutim, bili su različiti planovi postojanja koje su mrtvi mogli nastaniti. Da su živjeli dobro i da ih se sjećaju, mogli su uživati ​​u sunčanim užicima Elysium; ako su bili zli, pali su u tamnije jame Tartarusa, dok su, ako su zaboravljeni, vječno lutali u tmini zemlje Hada. Dok su Elysium i Tartarus postojali u vrijeme pisca Hesioda (Homerovog suvremenika), tada ih se nije razumjelo na isti način na koji su nastali.

Da su ljudi živjeli dobro i da ih se sjećaju, mogli bi uživati ​​u sunčanim užicima Elysium.

U Platonovom dijalogu o Fedon, Sokrat ocrtava različite visoravni zagrobnog života i jasno daje do znanja da je duša koja se u životu posvećuje dobru nagrađena u onostranom s mnogo ugodnijim postojanjem od onih koji su ugađali svojim apetitima i živjeli samo za zadovoljstva koja svijet može ponuditi. Kako je većina ljudi, tada kao i sada, svoje izgubljene najmilije promatrala kao uzor ljudske vrline (bili oni ili nisu, zapravo), smatralo se da je dužnost mrtvih dobro ih se sjetiti, bez obzira na život koji su živjeli, greške koje su učinili i time im osigurati nastavak postojanja u Elysium -u. Ovo sećanje nije se smatralo pitanjem osobnog izbora, već, prije, važnim dijelom onoga što su Grci znali kao Euzebiju.

Pobožnost u staroj Grčkoj

Grčku riječ 'Eusebia' danas prevodimo kao 'pobožnost', ali euzebija je bila mnogo više od toga: bila je to jedna dužnost prema sebi, prema drugima i bogovima koja je držala društvo na putu i jasno očitovala svoje mjesto u zajednici. Sokrata je, na primjer, pogubila gradska država Atena nakon što je osuđen za bezbožništvo jer je navodno pokvario atensku mladež i govorio protiv utvrđenih bogova. Koliko god danas vidjeli Sokratov kraj nepravedan, on bi, zapravo, bio kriv za bezbožništvo jer je vlastitim primjerom ohrabrio atensku mladež da preispituje svoje starješine i društvene nadređene. Ovo bi se ponašanje smatralo pokvarenim jer se mladi nisu ponašali u skladu s eusebijom, odnosno zaboravljali su svoje mjesto i obveze u društvu.

Euzebija i zagrobni život

Na isti način na koji se čovjek morao sjetiti svoje dužnosti prema drugima u svom životu, morao se sjetiti i svoje dužnosti prema onima koji su napustili život. Ako se zaboravilo počastiti i sjetiti se mrtvog, smatralo se da je bezbožnik i, iako ovo posebno kršenje društvenog ponašanja nije kažnjeno tako strogo kao Sokratovo kršenje, zasigurno se oštro namrštilo. Danas, treba li razmisliti o nadgrobnim spomenicima starih Grka - bilo u muzeju ili neposredno ispod Akropole u Ateni - može se pronaći kamenje s udobnim, uobičajenim prizorima: muž sjedi za stolom dok mu žena donosi večernju večeru, muškarac dočekali su ga psi po povratku kući. Ti jednostavni prizori nisu bili samo prikazi trenutaka koje je pokojnik uživao u životu; trebali su podsjetiti žive visceralno na to tko je ta osoba u životu, na to tko je ta osoba još uvijek u smrti, i zapaliti svjetlo stalnog sjećanja kako bi `mrtvi 'trebali vječno živjeti u blaženstvu. U staroj Grčkoj smrt nisu porazili bogovi, već ljudska memorija.

Volite povijest?

Prijavite se za naš besplatni tjedni bilten putem e -pošte!

Napomena suradnika: Ovaj je članak prvi put objavljen na web stranici Suite 101. C. 2008 Joshua J. Mark


Stari Grci: Svakodnevica, vjerovanja i mitovi

Kad bi netko umro u staroj Grčkoj, bio bi opran. U usta bi im se stavio novčić, kako bi platili trajektima koji su mrtve prevozili preko rijeka u različitim dijelovima Podzemlja. Kada su Grci osvojili Egipat, usvojili su egipatsku tradiciju mumifikacije. Koristili su jednostavne kutije za pokopavanje svojih mrtvih ili bi pokojnici bili spaljeni, a njihov pepeo zakopan u poseban lonac.

Grobnice i nadgrobni spomenici

Ulazi u grobnice, gdje su počivali mrtvi, bili su od mramora. Glave Gorgona isklesane su na vratima grobnice kako bi se spriječilo zlo. Grobnice su napravljene kako bi se spriječilo da se mrtvi zaborave, a ponekad su bile isklesane sa slikama, pokazujući pokojnike s ljudima koje su poznavali u životu.

Unutar grobnice obitelj preminule osobe stavila je s tijelom vrijedne predmete, poput keramike, nakita i kovanica. Vjerovalo se da će se oni moći koristiti tim predmetima u Podzemlju. Svake godine obitelji su posjećivale grobnice svoje umrle rodbine, prinosile žrtve i ukrašavale grobnicu.


Živjeti starogrčku smrt

Prvi obred prijelaza ili proteze znači polaganje tijela. (Slika: Walters Art Museum/javno vlasništvo)

Stavljanje sebe u sandale umirućeg Grka

Stari Grci držali su određene ideje o smrti. Jedan od najkarakterističnijih motiva koje ljudi pronalaze na starogrčkim nadgrobnim spomenicima je stisak ruke između živih i mrtvih. Obje figure uvijek pokazuju dostojanstven mir. U tome se sastoji grčka tragedija - gledati smrt ravno u oči. Kao Grk, znali su da se strašne stvari događaju, a znali su i da će se suočiti s njima izravno, moći se nositi s njima i nastaviti sa životom. Moglo bi se reći da su Grci to shvatili kako treba.

Ali treba se staviti u sandale umirućeg Grka da bi to razumio. To je neugodna misao, ali od nje se ne može pobjeći ako se želi u potpunosti doživjeti druga strana povijesti.

Uloga liječnika u smrti

Pretpostavimo da jedan umire u jednoj kući#8217, okružen jednom rodbinom#8217, uključujući malu djecu. Neće biti liječnika pri ruci koji bi im dao lijekove protiv bolova.

Liječnik je možda nudio liječenje u ranijim fazama bolesti, ali kad je postalo neizbježno da postoji samo jedan ishod, liječnička profesija više nije imala što ponuditi.

Također je iznimno malo vjerojatno da bi liječnik bio pozvan da eutanazijom riješi jednu bijedu, skovanu riječ grčke etimologije koja znači "dobra smrt", ali koja nema starogrčki ekvivalent. Zapravo, Hipokratova zakletva, koja je vjerojatno bila široko prihvaćena, nalagala je onim liječnicima koji su položili da ne daju otrov nikome tko ga je tražio i da ne predlože takav tečaj ”. Nadajmo se da je posljednja bolest kratka i bezbolna.

Ovo je prijepis iz video serije Druga strana povijesti: svakodnevni život u starom svijetu. Gledaj sad, Wondrium.

Uloga bogova u smrti

Pjesnik Keats ima divnu crtu Oda slavuju: "Bio sam napola zaljubljen u laku smrt". Grci su zamislili laganu smrt u obliku Boga Apolona, ​​koji ih je došao udariti svojim takozvanim ‘latnim strijelama ’. To je najbolje što je on ili bilo koji drugi bog mogao ponuditi. Sigurno nisu imali utjehu nekome dati.

U Euripidovoj predstavi Hipolit, kad Hipolit umire, od njega se oprašta božica Artemida, kojoj se posvetio isključivo cijeli život i s kojom je bio u vrlo bliskim odnosima. Objašnjava mu da nije dopušteno da božanstvo bude prisutno pri smrti jer bi je zagađenje koje oslobađa leš uprljalo.

Jedini bog koji se možda malo zainteresirao za sudbinu umirućih je iscjeljujući Bog Asklepije. Kad Sokrat pređe s ovog svijeta na onaj u Platonovom dijalogu, Crito, ima ovo za reći: „Asklepiju dugujem pijetao. Pobrinite se da se to plati. " Petlovi su žrtvovani Asklepiju. Sokrat možda ukazuje na to da je Asklepije olakšao njegov odlazak, iako je moguće i da samo filozofski sugerira da je smrt životna sigurnost.

Prvi obred prijelaza: proteza

u staroj Grčkoj, čim je jedan umro, žene u jednoj obitelji počele su se ljutiti i ulagivati, tako da su svi u susjedstvu znali za smrt pojedinaca. I žene su preuzele jedno tijelo i pripremile ga za pokop. Zatvorili su usta i oči, vezali remen za bradu oko glave i brade kako bi spriječili opuštanje čeljusti oprali su cijelo tijelo, pomazali ga maslinovim uljem, odjenuli tijelo i zamotali u namotanu plahtu, ostavljajući izložena je samo jedna glava.

Zatim su položili tijelo na kauč s jednom glavom naslonjenom na jastuk i jednim stopalima okrenutim prema vratima. Nakon što su sve ovo obavili, pjevali su dirge u jednu čast.

Ovo je prizor koji je prikazan na najranijim grčkim vazama s figurativnim ukrasom. Zove se proteza, što doslovno znači polaganje tijela. Predstavlja prvu fazu u procesu koja će odvesti jednog sa ovog svijeta na drugi, ‘od ovdje do tamo ’, kako su to rekli Grci. U međuvremenu su rodbina i prijatelji zvali u kuću i pridružili se tugovanju.

Drugi obred prolaska: Ekfora

Drugi obred prijelaza je ekphora. Ekfora doslovno znači izvođenje jednog tijela#8217s ’ - konkretno od kuće jednog na jedno mjesto ukopa. Prema atenskom zakonu, ekphora morao se dogoditi u roku od tri dana od jedne smrti#8217, iako je po vrućem vremenu vjerojatno da bi se to dogodilo mnogo ranije. The ekphora morao održati prije izlaska sunca kako ne bi stvorio javnu smetnju.

Da je neko imućan, jedno tijelo prevezli bi u kolima ili kočijama koje vuku konji. Ovaj prizor prikazan je i na najranijim vazama s figurativnim ukrasom. Mogli bi se zaposliti i profesionalni pogrebnici koji će nositi leš i razbiti teren za ukop. Ovi profesionalci bili su poznati kao ‘ muškarci mjehura ’ klimakophoroi, jer bi položili jedno tijelo na ljestve, koje su nosili vodoravno.

Da su zaposleni profesionalni pogrebnici, prije ove faze ne bi imali nikakav fizički kontakt s članovima obitelji. Grci bi bili šokirani i užasnuti idejom da jedno tijelo predaju profesionalcima kako bi ga pripremili za pokop.

Treći obred prijelaza: Pokop

Lončarstvo je bilo jedno od najvećih
zajednički grobni darovi za mrtve. (Slika: Britanski muzej/javno vlasništvo)

Ukop je obavljao jedan rođak. Nije bilo ni svećenika. Svećenici su bili isključeni iz istog razloga iz kojeg je Artemida izostala s umirućeg Hipolita, kako ne bi došlo do zagađenja. Jer da su izazvali zagađenje, mogli bi ga prenijeti bogovima.

O detaljima pogrebne službe ne zna se apsolutno ništa. Istini za volju, ne zna se čak ni postoji li ukop kao takav. Ako su izgovorene neke tradicionalne riječi, one se nisu zabilježile. Vježbalo se i inhumaciju i kremiranje, iako se kremiranje, budući da je skuplje, smatralo prestižnijim. Ako je netko kremiran, rodbina bi sakupila pepeo i stavila ga u urnu, koju bi potom zakopali zajedno s grobnim darovima.

Najčešći grobni dar bila je keramika. Zapravo, zato je toliko kvalitetnih grčkih vaza preživjelo netaknute-jer su netaknute stavljene u zemlju.

S vremenom su Grci ipak postali škrtiji. Velike su šanse da ako bi netko umro u 4. stoljeću prije nove ere, sve što bi mogao dobiti bilo bi nekoliko uljnih tikvica poznatih kao lêkythoi napunjena maslinovim uljem - maslinovo se ulje smatralo luksuznim predmetom. Neki su Grci, međutim, bili toliko škrti da su kupili lêkythoi s manjim unutarnjim spremnikom kako biste im uštedjeli troškove punjenja cijele vaze uljem. Navodno su mislili da mrtvi to neće primijetiti.

Čim je grob ispunjen, nad njim su postavili oznaku groba. Nakon završetka trećeg i posljednjeg obreda prijelaza, svi ožalošćeni vraćali bi se u tugujući dom na prigodni domjenak.

Zakoni o ukopu

Budući da se jedan leš smatrao izvorom zagađenja - grčka riječ za zagađenje je miazma, što znači isto na engleskom - netko je morao biti pokopan izvan gradskih zidina. U staroj Grčkoj pokop unutar naselja bio je iznimno rijedak nakon 8. stoljeća pr. Isto je bilo i u Rimu. Najstariji zakonik rimskog prava, Zakon dvanaest tablica, datiran 450. godine prije Krista, sadrži odredbu: "Mrtvi se ne smiju sahranjivati ​​niti paliti u gradu."

Nije sigurno, ali podrijetlo vjerovanja u zagađenje može biti povezano s nekom vrstom primitivnog osjećaja higijene. Rođaci mrtve osobe i svi drugi koji su došli u kontakt s lešom bili su spriječeni sudjelovati u bilo kakvim aktivnostima izvan kuće sve dok leš nije pročišćen.

Ponovna integracija u zajednicu za ožalošćene dogodila se tek nekoliko tjedana nakon sprovoda. Jedna rodbina također je morala poduzeti mjere da spriječi zagađujući učinak jednog tijela s prodora u zajednicu. To je uključivalo osiguravanje zdjele vode donesene izvan kuće kako bi se posjetitelji mogli pročistiti pri izlasku.

Uobičajena pitanja o životu u starogrčkoj smrti

Tri faze su postavljanje ili protetiziranje, pogrebna povorka ili ekfora te ukop ili pokop.

Grci su odali počast mrtvima slijedeći tri obreda prijelaza, izgradnjom grobnica u Ceramicusu, Lončarevoj četvrti#8217 i ponudom grobnih dobara.

Grci su se za zagrobni život pripremali slijedeći tri obreda prijelaza i nudeći grobna dobra.

Prema zakonu o ukopu u staroj Grčkoj, netko je morao biti pokopan izvan gradskih zidina.


Rimska vjerovanja o životu nakon smrti

Ispraćaji mrtvih odvijali su se na prilično organiziran način. To su uglavnom radili profesionalci. To su popratili i profesionalci koje su žene oplakivale, neki oblici plesa i glazbe. Postojala je razlika u pogledu načina sprovoda za siromašne i za bogate ljude.

Za siromašne ljude, sprovod je bio nešto što se dogodilo na vrlo jednostavan način, a za bogate se sprovod dogodio u velikim razmjerima i to je bila prilično fantastična ceremonija.

Bilo je ljudi koji su nosili maske i oni su bili oni koji su vozili kola. Rimljani su obavljali pokop ili kremiranje. U slučaju spaljivanja, mrtvi su kremirani na lomači. Darovi i osobni predmeti osobe čuvani su u njegovoj grobnici.

A u slučaju humanizacije, tijela su zaštićena. Ta je zaštita izvedena ili uz pomoć vreće, strukture nalik drvetu itd.


Zagrobni život

Odabrane reference

Vjera u život nakon smrti, koju održava svaka od Abrahamovih religija, postavlja metafizičko pitanje kako treba definirati ljudsku osobu. Neki oblik dualizma um-tijelo, bilo platonski ili kartezijanski, u kojem um ili duša preživljavaju smrt…

... daje argument za život nakon smrti u kojem se ispravljaju nepravde i nejednakosti sadašnjeg života.

Američko -indijske religije

Uvjerenja Asteka u vezi s drugim svijetom i životom nakon smrti pokazala su isti sinkretizam. Stari raj boga kiše Tlaloca, prikazan na freskama u Teotihuacánu, otvorio je svoje vrtove onima koji su umrli od utapanja, munje ili ...

... većina skupina vjerovala je u zagrobni život. Općenito se mislilo da će duše nedavno preminulih lebdjeti po zajednici i pokušati navesti bliske prijatelje i rodbinu da im se pridruže na njihovom putu u vječnost, dakle, složene pogrebne obrede i opsežne tabue povezane sa smrću ...

Drevne europske religije

Vjerovali su u život nakon smrti, jer su sa mrtvima pokopavali hranu, oružje i ukrase. Druidi, rano keltsko svećenstvo, poučavali su nauk o preseljenju duša i raspravljali o prirodi i moći bogova. Irci su vjerovali u drugi svijet, ponekad zamišljen kao podzemni ...

… I maštovita slika zagrobnog života. Živi su bili stalno opsjednuti svojom brigom za mrtve, izraženom u složenim, veličanstveno opremljenim i ukrašenim grobnicama i raskošnim žrtvama. Jer, unatoč vjerovanjima u podzemni svijet ili Had, postojalo je i uvjerenje da je individualnost mrtvih nekako ...

... aludirao na vrstu zagrobnog života koji se očekivao za pokojnika. Koncept zagrobnog života nalik na Elysium prevladavao je u arhaičnom razdoblju, ali u stoljećima koja su uslijedila sve se više naglašava mračnije područje podzemlja. Freske prikazuju vladara Hada (etrurska Aita) u vučjoj koži ...

Nije poznato jedinstveno poimanje zagrobnog života. Neki su možda vjerovali da će pali ratnici otići u Valhallu živjeti sretno s Odinom do Ragnaröka, ali malo je vjerojatno da je to uvjerenje bilo rašireno. Činilo se da su drugi vjerovali da nema zagrobnog života. Prema “Hávamálu”, bilo koji ...

... vjerovalo se da je Hermes u područje Hada, ali put je prema popularnim izvještajima blokirala močvarna rijeka Styx. S druge strane, Charon je prevozio sve koji su primili barem simboličnu sahranu, a novčići su stavljani u usta leševa za plaćanje karte.

… Posljednje, osobito smrt i zagrobni život) svojim otkrićima uložili su glazbu, geometriju i astronomiju u vjerske vrijednosti. Prema njihovom nauku, izvorni dom duše bio je u zvijezdama. Odatle je pao na zemlju i povezan s tijelom. Dakle, čovjek je bio stranac na…

... ideje Rimljana o zagrobnom životu, osim ako vjeruju u obećanja misterioznih religija, bile su nejasne. Takve ideje često su predstavljale opreznu nadu ili strah da je duh u nekom smislu živio, a to je ponekad bilo u kombinaciji sa tjeskobom da duhovi mrtvih, ...

Drevne bliskoistočne i bliskoistočne religije

... za grobnicu i onaj svijet. Egipatski kraljevi obično se nazivaju faraonima, slijedeći upotrebu Biblije. Uvjet faraon, međutim, potječe od egipatskog po ʿaa („Veliko imanje“) i datira do imenovanja kraljevske palače kao institucije. Ovaj izraz za palaču koristio se ...

Vjera u zagrobni život i prolaz do njega očituje se u predinastičkim ukopima, koji su orijentirani prema zapadu, domeni mrtvih, a koji uključuju keramičku grobnu robu, kao i osobne stvari pokojnika. Najupečatljiviji razvoj kasnije mrtvačke prakse bio je ...

... uobičajena indoeuropska predodžba o ahiretu, zamišljena kao pašnjak s ispašom stoke "za kojom mrtvi kralj kreće". To sugerira da su indoeuropski preci kasnijih govornika hetitskog, palajskog i luvijskog jezika, kao i oni manjinskih članova ove grupe, zajedno ušli u Anadoliju nakon ...

Moderne religije

... osobnog nastavka života nakon smrti. Mnogi kršteni rani kršćani bili su uvjereni da uopće neće umrijeti, ali će ipak doživjeti Kristov dolazak za života i otići će izravno u Kraljevstvo Božje bez smrti. Drugi su bili uvjereni da će proći kroz ...

... sposobnost uništavanja i oživljavanja svih stvorenja koja su ograničena i stoga su podložna neograničenoj Božjoj moći.

... nastalo je vjerovanje u zagrobni život, za koji će mrtvi biti uskrsnuti i podvrgnuti božanskom sudu. Prije tog vremena pojedinac je morao biti zadovoljan što se njegovo potomstvo nastavilo unutar svete nacije. No, čak i nakon pojave vjere u uskrsnuće mrtvih, u osnovi etnički ...

... možda je nastavio postojati, ali to se više nije trebalo shvaćati kao život. Postojanje mrtvih u šeolu, donjem svijetu, nije bilo živo, već sjena ili odjek života. Za većinu biblijskih pisaca ovo je postojanje bilo bez iskustva, bilo Boga bilo bilo čega…

... izuzetno suptilan položaj koji je izjednačavao besmrtnost s cijepanjem ljudskog intelekta na aktivni intelekt svemira, ograničavajući ga tako na filozofe ili na one koji su prihvatili odgovarajuću filozofsku teologiju o vjeri. U suvremeno doba bio je očit mali ili nikakav konsenzus, iako je jezik ...

… Vjerovanje, svaka osoba nakon svoje smrti postaje kami, nadnaravno biće koje nastavlja sudjelovati u životu zajednice, nacije i obitelji. Dobri ljudi postaju dobri i korisni kamis, loši ljudi postaju pogubni. Biti uzdignut u status božanskog bića nije ...

... sudbina čeka pojedince u zagrobnom životu. Svaki čin, govor i misao smatraju se povezanim s postojanjem nakon smrti. Zemaljsko stanje povezano je sa vanjskim stanjem, u kojem će Mudri Gospodin nagraditi dobar čin, govor i misao, a kazniti loše. Ovaj motiv za…

Teološke aspekte

Koncept

... dar besmrtnosti ovaj zagrobni život najprije su tražili faraoni, a zatim milijuni običnih ljudi. Drugi je bio koncept posmrtne presude u kojoj bi kvaliteta života pokojnika utjecala na njegovu konačnu sudbinu. Egipatsko društvo se, kako je rečeno, sastoji od ...

... duša s osobnim preživljavanjem ili kontinuitetom nakon smrti, postoji jednako drevno gledište koje naglašava kontinuitet života. Ovo gledište, kojemu je nizozemski antropolog Albertus Christiaan Kruyt dao pojam duše (izraz koji je suprotstavio posmrtnoj duši), uglavnom se nalazi među uzgajivačima riže ...

... da smrt prati vječni život drugdje - u šeolu, paklu ili nebu - i da će na kraju doći do univerzalnog fizičkog uskrsnuća. Drugi (npr. Budisti, Orfi, Pitagorejci i Platon) su smatrali da se ljudi ponovno rađaju u vremenskom toku života na zemlji

Kako bi mrtvima dali novi život izvan groba, ožalošćeni mogu dopustiti da krv koja daje život sakramentalno padne na leš. U ovom ciklusu sakramentalnih ideja i postupaka davanje, očuvanje i promicanje života, zajedno s uspostavljanjem veze sjedinjenja sa svetim poretkom,…

... je apelirati na život nakon smrti, teškoće ovog života, bilo uzrokovane prirodnim zlom ili moralnim zlom, ništa se ne mogu usporediti s nagradama koje slijede, a one su neophodan faktor u pripremi čovjeka za zagrobni život kroz moralnu obuku i sazrijevanje. Ova linija…


Kazalište u staroj Grčkoj

Na agori se izvodilo kazalište u drevnoj Ateni. Kasnije su kazališni događaji postali toliko veliki da su premješteni u gledalište na otvorenom ispod atenske Akropole. Gledališta na otvorenom izgrađena su u većini grčkih gradova, a neki drže i do 15.000 gledatelja.

Kazališne predstave postale su dio vjerskog festivala Dioniza, boga vina. Festival je trajao pet dana i imao je izvedene čak tri pune drame u jednom danu. Drame su ocijenjene natjecanjima, a pobjednički glumci i dramatičari dobili su nagrade. Drame su sponzorirali bogati građani poznati kao choregoi.

U antičkoj Grčkoj razvijene su tri vrste drama, tragedija, komedija i satira. Tragedija je bila o grčkim herojima i bogovima. Radnje su često pokazivale sukobe između ljudi i bogova, a završeci su često bili loši za glavne likove. Komedije su često bile političke teme ili su sadržavale sukobe između muškaraca i žena. Trebali su biti laka zabava. Satire su često bile duhovite, rezne i ironične priče koje su se rugale ljudskom poroku i ludosti.

Rane predstave izvodile su se samo s jednim glumcem, ali su uloge kasnije proširene na tri glumca. Glumci su nosili maske koje su publici signalizirale identitet i moguće raspoloženje lika u određenom trenutku ili sceni u predstavi. Jedan glumac odigrao je više uloga, mijenjajući maske kako bi prikazao različite likove. Glumci & rsquos kostimi signalizirali su raspoloženje i karakteristike lika. Tamnija odjeća bila je povezana s tragičnim likom, a svijetla odjeća sa sretnim ili smiješnim ulogama.


Povijest kockanja u staroj Grčkoj

Suvremeni oblici kockanja mogu se pratiti do mnogih drevnih kultura, od Kine do Egipta i šire.

Ipak, istina je da je stara Grčka imala veću ulogu u razvoju modernih oblika kockanja od većine mjesta.

Pogled na podrijetlo kockanja u Grčkoj

Ne biste očekivali kockarnice s najvećim automatom za isplatu, ali je antička Grčka imala svoja sredstva za postavljanje oklada.

Kockarske igre temeljene na bacanju kockica i bacanju novčića spominju se u nekim starogrčkim knjigama i pričama. Neki izvori sugeriraju da je poker ovdje također mogao započeti, iako drugi misle da se prvi put igrao u Kini ili Perziji.

Starogrčke ikosaedronske kockice

Ono što se ne može poreći je da je kockanje bilo izuzetno popularno u ovoj kulturi, s posebnim mjestima gdje su kockari mogli otići staviti neke oklade. Možemo to vidjeti i na skulpturama i slikama, s ljudima koji se klade na borbe i utrke.

Zanimljivo je da su i bogovi Hermes i Pan stavili opklade, dok su Zeus, Poseidon i Hades odlučili kako podijeliti svijet izvlačeći slamke. Ipak, neki su grčki filozofi bili protiv kockanja i smatrali su da bi to nanijelo štetu civilizaciji ako se ne kontrolira.

Neke od najpopularnijih igara

Jedna od igara koja se često spominje kao popularna u stara vremena u Grčkoj je Heads and Tails. Ovo se prvo igralo školjkama, prije nego što je uvođenje kovanica olakšalo kockanje na kojoj će strani završiti okrenuta prema gore. Pitch and Toss bila je igra koja je uključivala bacanje novčića na zid.

Možda najjednostavnija igra od svih bila je ona koja se zvala Par Impar Ludere. Jedan je igrač u jednoj ruci držao hrpu malih predmeta, a druga je osoba morala pogoditi je li ukupan broj predmeta neparan ili paran. Grci bi se kladili na ishod, a postao je popularan i u Rimskom carstvu. Također se vjeruje da je kockanje bilo veliki faktor na prvim Olimpijskim igrama

Tvrdi se da su Palamedi izmislili kockice dok je Troja bila pod opsadom i da je to dovelo do toga da se njegove kockice koriste u Hramu sreće u Korintu. Međutim, čini se da je ovo samo legenda, jer se prvi spomen kockica u Grčkoj može pratiti sve do 6000. godine prije Krista.

Teorija koja se provlači kroz starogrčku ljubav prema kocki je da su bogovi kontrolirali igre. Smatralo se da je čak i ishod igre čiste sreće poput bacanja kocke u krilo bogova.

Starogrčki astragali koji se koristio za igranje igara na sreću

Moderno kockanje u Grčkoj

Brzo napredujemo u vremenu do danas, možemo vidjeti da je kockanje u Grčkoj legalno u kopnenim ustanovama. Svi veliki gradovi obično imaju nekoliko kockarnica u sebi, dok otoci koji su popularni među turistima također nude kockarnice posjetiteljima.

Među najpoznatijim kockarnicama u zemlji je Athens Casino Mont Parnes Regency Casino. Datira iz 1960 -ih godina i nalazi se u Nacionalnoj šumi Parnitha. Luksuzan orijentir u glavnom gradu, ovo je moderan casino s mnogo različitih načina kockanja.

Očigledno, najstariji kasino u Grčkoj izgrađen je u Loutrakiju početkom 20. stoljeća. Većina modernih kockarnica ovdje su profinjeni i ekskluzivni objekti u kojima se igrači mogu udobno kladiti.

Grčka komisija za kockanje kontrolira klađenje u zemlji, dok igrači u Grčkoj mogu lako i sigurno pristupiti velikom broju online kockarnica i stranica za sportsko klađenje stranih operatera. To znači da se ljudi trenutno mogu kladiti na klađenje na nogomet, tenis i košarku.

Ipak, to je još uvijek sivo područje, budući da su grčki regulatori i europski sudovi iznijeli različita mišljenja o zakonitosti online kockanja u Grčkoj.

Stoga je vrijedno paziti na sve buduće izmjene zakonodavstva u ovoj brzorastućoj industriji koje bi mogle utjecati na grčke igrače.


Grčki život kako je prikazan u Homerovoj epopeji: Odiseja

U Homerovom epu Odiseja razni su aspekti starih Grka otkriveni kroz radnje, likove, zaplet i formulacije. Homer koristi svoju vještinu kao dramaturg, pjesnik i filozof kako bi informirao publiku o povijesti, ponosima i postignućima starih Grka, a također i ispričao mnoge vrijednosti i višestranu kulturu starogrčke kaste . Grci su imali brojne vrijednosti i običaje, od kojih su primarni principi mentalne karakteristike pojedinca, fizičke karakteristike pojedinca, rekreacija i razonoda u kojima su Grci uživali, način na koji se domaćin odnosi prema gostu, vjerski aspekti, i na kraju, pogled Grka na život, otkriven u Odiseji koji prikazuje i definira njihovu kulturu

Jedna od najistaknutijih mentalnih karakteristika koje su stari Grci cijenili bila je pamet i duhovitost pojedinca. To se može zaključiti iz Odiseje zbog mnogih slučajeva i događaja u kojima Odisej koristi pamet svog mozga i druge trikove kako bi se izvukao iz rizične situacije. Primjeri za to su kada kaže Polifemu Kiklopu da se ne zove Nitko, kada svladava Circeinu magiju uz pomoć molyja, kad mu uši napuni uši voskom i veže se za mjesto kako bi on i njegovi ljudi mogli proći sirene na sigurno, a kad se preruši u prosjaka i malo tko otkrije svoj pravi identitet. Odisej je "daleko najbolji od smrtnih ljudi za savjete i priče" (Bk. XIII, 297 - 298). Također, kaže se da je Odisej sposoban pronaći boga u lukavstvu i trikovima (Bk. XIII, 291 - 295). Penelope, Odisejeva žena također koristi svoju duhovitost i lukavstvo kako bi se izvukla iz situacija. Primjer za to je kada se pretvara da tka pokrov za Laertesa, ali zapravo poništava noću onoliko koliko je činila ujutro. Atena, božica mudrosti, daje još jedan primjer korištenja pameti i trikova. Atena Odiseja prerušava u prosjaka i također ga okružuje maglom mnogo puta kako ga bivši poznanici ne bi vidjeli ili prepoznali.

Druge značajne mentalne karakteristike koje su Grci cijenili su vjernost i odanost. U Odiseji postoji mnogo, mnogo primjera odanosti i vjernosti. Četiri najznačajnija primjera su Penelopa, Eumaios, Philoitois i Argos. Penelopa je Odisejeva vjerna supruga koja nikada nije spavala ni s kim drugim osim s Odisejem, iako je bila u iskušenju. Također se drži u nadi da je Odisej još živ i da će jednog dana doći kući. Eumaios je odani svinjar koji pomaže Odiseju da nadvlada udvarače. Philoitois je odano krdo volova koje također pomaže Odiseju da nadvlada udvarače. Argos je "pas sa srcem ..." (Bk. XVII, 292) Odiseja. Odisej testira te pojedince (osim psa) kako bi odlučio može li im vjerovati ili ne. On također testira druge pojedince, poput posluge, kako bi otkrio jesu li mu odani ili ne.

Grčke su fizičke karakteristike bile jednako važne kao i mentalne. Snaga je bila jedna od dominantnije promatranih fizičkih karakteristika. Snaga je bila uobičajen test i koristila se za mjerenje čovjekova mjesta u stvarnom svijetu. Penelope je snagu iskoristila kao test za natjecanje udvarača. Natjecanje se sastojalo u tome da se Odisejev luk može nanizati i precizno pogoditi, a nagrada (udaja Penelope) pripašće „onoj koja uzme luk u ruke, s najvećom lakoćom ga naniza i pošalje strijelu čistu kroz svih dvanaest sjekire ”(Bk. XXI, 75 - 76). Snaga je također bila dio Phaiakianina natjecanja. Snaga je bila potrebna za bacanje diska (u čemu se Odisej istakao), hrvanje i boks. Također, Grci su voljeli konkurenciju, što dokazuje i činjenica da su pozivali Odiseja i Irosa na borbu. A kad su napokon vidjeli krv, poludjeli su, smijali se i navijali kao da je to najuzbudljivija stvar na svijetu.

Grci su uživali u mnogim rekreacijama i razonodi, od kojih su dominirali ples, pjevanje i pripovijedanje. Phaiakians su bili poznati po svojim terpsihorejskim vještinama, i kako je Odisej rekao, čudili su ga se i strahopoštovali dok je gledao ples (Bk. VIII, 382 - 384). Pjevanje je također bila omiljena rekreacija. Pjevače su svi dobro poznavali i voljeli. Kao što je Odisej rekao Demodokosu, "Demodokose, iznad svih smrtnika osim što te ja nagrađujem" (Bk. VIII, 487). Jedini preživjeli od onih koji su spletkarili protiv Odiseja bio je Phemios, pjevač udvarača. Preživljava jer mu Odisej dopušta da živi zbog dara glasa od bogova. Kako Telemachus kaže o udvaračima, "Ovo je sve o čemu razmišljaju, o liri i pjevanju" (Bk. 1, 159). Pripovijedanje je još jedna vrlina koju Grci cijene. Menelaos priča o svojim pustolovinama s Telemahom, Odisej o svojim avanturama s Fajacima, a Odisej o svojim lažnim pustolovinama s Eumaiosom. Još jedna zabava u kojoj su Grci jako uživali je gozba ili, grubo rečeno, jedenje i piće. Udvarači uvijek jedu i pružaju obilje, iako jedu Odisejevu stoku i piju Odisejevo vino. Imaju mnogo natjecanja u piću kako bi vidjeli tko može najviše popiti, a obično na kraju natjecatelji obično postanu bakanalije. Prosci uvijek imaju „želju za jelom i pićem“ (Bk. 1, 150) prema Telemahu.

Ponašanje prema gostu bilo je vrlo važno u doba starih Grka. Definirao je vašu društvenu klasu, a također vam je pomogao u korist sa Zeusom, koji je bog putnika i gostiju. Širok raspon stvari može se klasificirati kao ugostiteljstvo, ali opća ideja uvijek je ista i ne može se promijeniti. Ugostiteljstvo je pružalo strancima hranu, toplinu, zaklon i utjehu prije nego što je postavljalo pitanja poput imena, naslijeđa ili prijevoznih sredstava. Gostoljubivost je također značila uho za svaku riječ i poštovanje za svaku riječ. Također, domaćin je odgovoran da bude u okrilju gosta dok gost boravi u svom domu. Telemah osjeća da to ne može osigurati svom ocu (pod maskom prosjaka), pa se stoga stidi. „Kako mogu uzeti i ugostiti stranca u svojoj kući? I sam sam mlad i nemam vjere u svoje ruke da branim čovjeka, ako se netko s njim posvađa (Bk. XVI, 69. - 72). Primjera dobrog gostoprimstva ima u cijeloj Odiseji, primjerice kada Atena odlazi Telemahu na Itaki, kada Telemah odlazi u Nestor, kada Telemah odlazi u Menelaos, kada Odisej odlazi Fajacima i kada Odisej odlazi u Eumaios. Darovi pri dolasku se očekuju, ali pokloni pri odlasku nisu uvijek prisutni. Međutim, u slučaju bogatog, velikodušnog ili prijateljskog domaćina, darovi, čak i oni s neprocjenjivim i golemim vrijednostima, mogu se zamijeniti.

Vjerska uvjerenja i aspekti starogrčke kulture vrlo su definirani i strogi. Grci su vjerovali da svijet nadziru Zeus i drugi olimpijski bogovi te da su ti bogovi odlučili o njihovoj budućnosti. Također su vjerovali da se volja bogova može okrenuti žrtvama. Zbog toga su Odisej, Telemah i mnogi, mnogi drugi likovi podnijeli toliko bogova. Ovi se likovi također mole bogovima kako bi ih bogovi mogli čuti i ispuniti njihove želje. Grci su također vjerovali u "život" nakon smrti u podzemlju s Hadom. Drugi vjerski aspekt grčke kulture bila su proročanstva. Proročanstava i proroka bilo je u izobilju, ali ponuda točnih proročanstava i proroka bila je mnogo manje obilna, a zahtjevi za tim visoki, pa su ih činili oskudnima. Dva glavna proroka u Odiseji bili su Teiresias i Theoklymenos. Teiresias je bio mrtvi prorok kojeg je Odisej otišao konzultirati u podzemni svijet. On je točno prorekao većinu aspekata Odisejevog putovanja i zbog njega je Odisej uspio preživjeti svoja lutanja. Teoklimen je bio prorok iz obitelji proroka. Mogao je sasvim točno prorokovati iz augusta ptica, što je pokazano kada proriče da će Telemah “zauvijek imati gospodsku moć” (Bk. XV, 534). Homer koristi dosta ptičjih augurija u Odiseji, jednu na početku da upozori prosce na Odisejev povratak kući (Bk. II, 146 - 154), a dvije pred kraj, obje simboliziraju Odisejev trijumf nad proscima.

Stari Grci imali su optimističan pogled na život, pogled koji čini lijepe, sretne završetke, ali nažalost nisu baš realni. Grci su vjerovali da će na kraju bilo kakvih teškoća ili izdržljivosti izaći pravda i pokazati svoj pobjednički osmijeh žrtvi. Vjerovali su da će upornost i odlučnost na kraju doći do izražaja. Grci su također vjerovali da će u borbi između dobra i zla dobro na kraju pobijediti. Stav da dobro pobjeđuje protiv zla može se vidjeti u epu kada Odisej (dobro) ubija sve udvarače (loše) protiv gotovo nemogućih izgleda. Stajalište da će pravda na kraju ispasti prikazano je u Odiseji kada se ubiju sve nevjerne sluge i sluškinje.Stajalište o ustrajnosti i odlučnosti uspijeva dokazano je činjenicom da je Odisej "koji se, nakon mnogo patnji, barem u dvadesetoj godini vratio u svoju zemlju" (Bk. XXIII, 101 - 102) preživio sve svoje brodolome, napade , i druge smetnje te se na kraju uspije vratiti kući.

U cijeloj Odiseji grčke vrijednosti i grčka kultura neprestano se oblikuju strujanjem autorova pera koje pripovijeda priču sa zamršenom radnjom. Ep omogućuje suvremenoj javnosti da zna o vremenima kada su se ljudi borili rukama i glavom, kada su bogovi dominirali kulturama, a ljubav i vjernost nešto značili. Odiseja je veliko djelo velikog pjesnika, Homera, koji ne samo da bilježi bit starogrčkog duha i kulture, već i priča priču koja se može prenositi s koljena na koljeno, bez ikakvog straha od starenja.


Konusni presjeci u staroj Grčkoj

Znanje o konusnim presjecima može se pratiti do antičke Grčke. Menaechmus je zaslužan za otkriće konusnih presjeka oko 360-350 godine prije Krista. izvještava se da ih je upotrijebio u svoja dva rješenja problema "udvostručenja kocke". Slijedeći Menaechmusov rad, ove krivulje su istraživali Aristaeus i Euclid. Sljedeći veliki doprinos rastu teorije konusnog presjeka dao je veliki Arhimed. Iako je dobio mnoge teoreme o konikama, ne čini se da je objavio bilo koje djelo posvećeno samo njima. Apolonije je, s druge strane, poznat kao "Veliki geometar" na temelju svog teksta Konusni presjeci, serije od osam knjiga (ili moderno rečeno "poglavlje") na tu temu. Prve četiri knjige došle su do nas u izvornom starogrčkom jeziku, ali knjige V-VII poznate su samo iz arapskog prijevoda, dok je osma knjiga potpuno izgubljena.

U godinama nakon Apolonija grčka geometrijska tradicija počela je opadati, iako je došlo do razvoja u astronomiji, trigonometriji i algebri (Eves, 1990., str. 182). Pappus, koji je živio oko 300. godine, pomalo je pomagao u proučavanju konusnih presjeka. Nakon Papusa, međutim, stožci su bili gotovo zaboravljeni 12 stoljeća. Tek je u šesnaestom stoljeću, djelomično kao posljedica izuma tiskarstva i rezultirajućeg širenja Apolonijevog djela, došlo do bilo kakvog značajnog napretka u teoriji ili primjeni konusnih presjeka, ali kada se to dogodilo, u djelu Kepler, to je bio dio jednog od velikih napretka u povijesti znanosti.

Ovaj će rad istražiti povijest konusnih presjeka u staroj Grčkoj. Ispitat ćemo rad spomenutih matematičara relevantnih za stožaste presjeke, s posebnom pažnjom posvećenom Apolonijevom tekstu o konusnim presjecima.

Papa i Prokla

Možda se čini čudnim započeti s ovim kasnim brojkama, ali značaj Papusa i Prokla potrebno je rano utvrditi. Dok je Pappus iz Aleksandrije bio kompetentan matematičar i geometar, ovdje nas zanima njegov rad kao matematičkog komentatora i povjesničara matematike. Boraveći uglavnom u Aleksandriji, otprilike 500 godina nakon što su poput Euklida, Arhimeda i Apolonija krasili intelektualnu scenu, Pappus je napisao nekoliko komentara o djelima mnogih velikih matematičara iz prošlosti (to jest iz njegove prošlosti!). Jedan od njegovih najvažnijih doprinosa bila je njegova Matematička zbirka, osam knjiga koja je sadržavala komentare i povijesne bilješke, kao i nekoliko izvornih prijedloga i proširenja postojećih djela. U VII. Knjizi raspravlja o dvanaest rasprava iz prošlosti koje su uključivale Apolonijeve konične presjeke, Euklidovu površinsku plohu i Aristajevu Čvrstu lokusu (Eves, 1990., str. 183-4). Pappus nam daje sjajan uvid u živote i djela grčkih geometara. Imao je pristup djelima koja su sada izgubljena, a osim što je sam po sebi vješt matematičar, pruža i vrijednu poveznicu sa starogrčkom geometrijom.

Proklo, koji je živio u petom stoljeću nove ere, također je bio značajan matematički povjesničar. Kao i Pappus, imao je pristup izvornoj dokumentaciji o matematici klasične i helenističke ere koja više nije dostupna. Njegov Eudemijski sažetak neprocjenjiv je izvor informacija o ranim grčkim matematičkim radovima do Euklida (Eves, 1990., str. 74-75). U ovom će se radu pozvati na njegov autoritet, osobito pri ispitivanju utjecaja Aristaeusa i Euklida.

Menaechmus

Prema tradiciji, ideja o konusnim presjecima nastala je iz istraživanja problema "udvostručavanja kocke". Ovaj problem i popratna priča predstavljeni su u pismu Eratostena iz Cirene kralju Ptolomeju Euergetu, koje je do nas došlo kako ga je citirao Eutocije u svom komentaru na Arhimedovu knjigu „O sferi i cilindru“, koji se pojavljuje u Heathu. Eratosten je rekao kralju da je legendarni kralj Minos želio izgraditi grobnicu za Glauka i smatrao je da su njegove sadašnje dimenzije - po sto stopa sa svake strane - nedovoljne.

    Premali vaš plan za vezanje kraljevske grobnice. Neka ipak bude dvostruko svoje poštene forme Ne uspijevajte, ali požurite udvostručiti svaku stranu.

Jasno je da će udvostručavanje svake strane povećati volumen za faktor osam, a ne za željeni faktor dva. Matematičari su marljivo radili na ovom problemu, ali su imali ogromnih poteškoća u rješavanju. Do svojevrsnog je proboja došlo kada je Hipokrat iz Hiosa sveo problem na ekvivalentan problem "dva srednja proporcija", iako se pokazalo da se s ovom formulacijom nije lakše nositi nego s prethodnom (Heath, 1961., str. Xviii). Eratosten je nastavio spominjući Delijce koji su bili zainteresirani za potpuno isti problem "udvostručenja kocke". Kad su pozvali geometre na Platonovoj Akademiji u Ateni za rješenje, dva geometra pronašla su odgovore na problem ekvivalentnih srednjih proporcija. Arhita iz Tarenta koristila je "polucilindre", a Eudoksus "zakrivljene linije". Ova su rješenja, međutim, samo pokazala postojanje željenog broja kao geometrijske veličine, ali zapravo nisu mogla mehanički konstruirati srednju proporciju, pa nisu stigla do praktične primjene sve do Menaechmusa, koji je to postigao znatnim brojem poteškoća (Heath, 1961., str. xvii-xviii).

Gore je spomenut Hipokratov prosječni omjer. To znači da s obzirom na dvije duljine a i b nalazimo x i y takve da je a: x :: x: y i x: y :: y :: b, ili u modernom zapisu a/x = x/y = y/b ako ovaj omjer označimo s r, tada je r^3 = (a/x) (x/y) (y/b) = a/b, a kako je primijetio Hipokrat, ako je segment a dvostruko veći sve dok je segment b, tada bi se udvostručavanje kocke riješilo pomoću duljine r. Nepotrebno je reći da on nije imao algebarski zapis koji bi mogao podržati argument u obliku koji smo mu dali, te je morao izravno raspravljati.

Menaechmus je bio učenik Eudoksa, Platonova suvremenika (Heath, 1921, str. 251). Mnogo onoga što znamo o Menaechmusovom djelu dolazi nam iz komentara Eutocija, grčkog učenjaka koji je raspravljao o djelima mnogih matematičara svog i ranijih vremena, uključujući Menaechmusa, Arhimeda i Apolonija. U svojim rješenjima, Menaechmus u biti nalazi presjek (ii) i (iii) (vidi Rješenje 1, dolje), a zatim, alternativno, presjek (i) i (ii) (vidi Rješenje 2, dolje). Menaechmusov dokaz bavi se općim slučajem srednjih proporcija. Kad to dobijemo, možemo uzeti poseban slučaj a = 2b da udvostručimo kocku. Prije nego što navedemo ova dva rješenja, valja napomenuti da Menaechmus nije koristio izraze "parabola" i "hiperbola" - ti su izrazi zaslužni za Apolonija. Umjesto toga, parabolu je nazvao "presjekom pravokutnog stošca", a hiperbolu "presjekom konusa tupog kuta" (Heath, 1921, str. 111).

    Rješenje 1:
  • Neka su AO, AB dvije zadane prave linije tako da je AO> AB i neka tvore pravi kut pod O.
  • Pretpostavimo da je problem riješen i neka su dvije srednje proporcije OM mjerene duž proizvedenog BO i ON izmjerene duž proizvedenog AO. (Heath, 1921., str. 253.).
  • Dopunite pravokutnik OMPN.
  • Budući da AO: OM = OM: ON = ON: OB, unakrsnim množenjem imamo sljedeće odnose:
  • (1) OB.OM = UKLJUČEN & sup2 = PM & sup2 ["." odnosi se na množenje], tako da P leži na paraboli koja ima O za svoj vrh, OM za svoju os, a OB za svoj latus rektum.
  • (2) AO.OB = OM.ON = PN.PM, tako da P leži na hiperboli s O kao središtem, a OM i ON kao njegove asimptote.
  • Da bismo pronašli točku P, moramo konstruirati parabolu u (1) i hiperbolu u (2), a kad to učinimo, presjek dva rješava problem, za AO: PN = PN: PM = PM: OB .
    Rješenje 2:
  • Pretpostavimo da su zadani AO i AB i da se problem mora riješiti kao u prva dva koraka rješenja 1.
  • Opet, imamo AO: OM = OM: ON = ON: OB, koji nam daje
  • (1) kao u rješenju 1, odnos OB.OM = ON & sup2 = PM & sup2, takav da P leži na paraboli koja ima O za svoj vrh, OM za svoju os, a OB za svoj latus rektum.
  • (2) odnos AO.ON = OM & sup2 = PN & sup2, takav da P leži na paraboli koja ima O za svoj vrh, ON za svoju os, a OA za svoj latus rektum.
  • Da bismo pronašli točku P, moramo konstruirati dvije parabole opisane u (1) i (2). Sjecište nam daje točku P takvu da je AO PN = PN: PM = PM: OB

Iako je očito da je Menaechmus koristio ono što je kasnije postalo poznato kao stožasti presjeci, je li doista imao na umu konstrukciju koja uključuje konus kada je riješio problem udvostručavanja kocke? Heath tvrdi da je to učinio, iz sljedećeg razloga. U istom gore navedenom Eratostenovom pismu Ptolomeju, Eratosten je, u vezi s raspravom o vlastitom rješenju problema, naveo da nema potrebe pribjegavati "rezanju konusa u trijadama Menaechmusa" (Heath, 1961, xviii). Osim ovog citata koji se nalazi u Eutocijevom komentaru na Arhimeda, Proklo potvrđuje da je Menikeh otkrio konike (Heath, 1961., xix).

Sad kad smo vidjeli kako je Menaechmus prvi put primijenio presjeke konike, moglo bi se zapitati: "Kako je pomislio dobiti ove krivulje iz stošca?". Premda gotovo da nema informacija o samom pitanju, intuicija nam govori da bi takve oblike privukle oštre promatračke sposobnosti grčkih matematičara. Vjerojatno bi prvi konični presjek primijećen u prirodi bila elipsa. Ako netko izreže cilindar pod kutom koji nije pravi kut prema njegovoj osi, rezultat je elipsa. Zapravo, Euclid u svojoj Phaenomeni bilježi da konus ili cilindar presječen ravninom koja nije paralelna s osnovom rezultira presjekom konusa oštrog kuta koji je "sličan [štitu]" (Heath, 1921, 125). Prirodno produženje ovog fenomena bi rezanjem konusa na sličan način. Tada su možda premjestili ravninu za rezanje tako da ne prereže konus u potpunosti. Koje vrste krivulja rezultiraju? Po čemu su svaka njihova svojstva slična ostalim odjeljcima? Po čemu se razlikuju? Ovo je moguća, a vjerojatno i pojednostavljena rasprava o protoku ideja koja je dovela do proučavanja konusnih presjeka.

Neugebauer sugerira da je podrijetlo koncepta u teoriji sunčanih sati, budući da je snop svjetlosnih zraka uključen u dizajn sunčanih satova konus koji je presječen ravninom horizonta u hiperboli, a dio te hiperbole je zatim označeno na sunčanim satima.

Prema Geminusu, stari su okretali pravokutni trokut oko jedne njegove noge kako bi odredili stožac. Osim toga, bili su poznati samo desni češeri. Od ovih pravokutnih čunjeva postoje tri vrste. Očigledno je da je okomiti kut na vrhu stošca mogao biti manji od devedeset stupnjeva, više od devedeset stupnjeva ili točno devedeset stupnjeva (Heath, 1921, str. 111). Kasnije ćemo vidjeti kada proučimo Apolonija, da postoji temeljna razlika u vrstama čunjeva koje smatra. Segment koji povezuje "gornju točku" stošca sa središtem kružne baze uvijek je pravi kut. Apolonije smatra da općenitiji oblik stošca ne pretpostavlja pravi kut (Heath, 1961, str. 1). Vraćajući specijalizirane čunjeve iz Geminusovog računa, ti su češeri nazvani oštrouglim, tupokutastim i pravokutnim češerima (ne treba ih miješati s pravim stošcima, koji se odnose na okretanje pravokutnog trokuta). Uz prethodno navedena dva naziva za hiperbolu i parabolu, elipsa je bila poznata i kao "presjek konusa s oštrim kutom" (Heath, 1921, str. 111).

Ništa nije poznato o metodama koje su koristili Menaechmusovi za rješavanje ovih krivulja (Cajori, 1924, str. 27). Heath raspravlja o onome što naziva svojom "vjerojatnom" metodom, na temelju pretpostavke da bi Menaechmusove konstrukcije njegovih krivulja vjerojatno bile prilično jednostavne i izravne, ali dovoljno poučne da pokažu istaknuta svojstva. O tome se neće dalje raspravljati. Srećom, imamo opsežnu dokumentaciju o raspravama kasnijih geometara, osobito Appolonija, o konusnim presjecima.

Aristaeus i Euclid

Zatim dolazimo do (opet izgubljenih) djela Aristaeja `starijeg 'i proslavljenog Euklida o koničnim presjecima. Budući da nemamo izvorna djela ova dva čovjeka o konusnim presjecima, naše znanje o njima proizlazi iz komentara Pappusa, o čijim se zapisima raspravlja u Heathu, koristeći prijevod Hultscha:

Četiri knjige Euklidovih konika dovršio je Apolonije, koji je dodao još četiri i proizveo osam knjiga konika. Aristaeus, koji je napisao još uvijek postojećih pet knjiga čvrstih lokusa povezanih s konikama, nazvao je jedan od konusnih presjeka presjekom konusa s oštrim kutom, drugi presjek pravokutnog stošca, a treći presjek tupog kutni konus. Apolonije kaže u svojoj trećoj knjizi da "mjesto u odnosu na tri ili četiri retka" nije u potpunosti istražio Euklid, a zapravo niti sam Apolonije niti bilo tko drugi nije mogao ni najmanje dodati ono što je Euklid napisao s pomoć samo onih svojstava konike koja su bila dokazana sve do Euklida. Za to svjedoči i sam Apolonije koji kaže da se teorija tog mjesta ne može dovršiti bez postavki koje je morao sam razraditi. Euklid smatra Aristaja zaslužnim za otkrića koja je već napravio u konikama, i ne predviđajući ga niti želeći iznova izgraditi isti sustav, štoviše nije nimalo mudro sporan i, iako točan, ali nije hvalisavac poput drugih toliko o mjestu koliko je bilo moguće pomoću Aristaejevih konika, ne tražeći potpunost njegovih demonstracija. (Heath, 1961., str. Xxi-xxii)

Prije nego razgovaramo o implikacijama Pappusovih riječi, obratit ćemo se Proklu kako bismo dobili uvid u koncept "čvrstog mjesta". On definira mjesto kao "položaj crte ili površine koja uključuje jedno te isto svojstvo" (Heath, 1961., str. Xxxii). Lokusi su podijeljeni u dvije klase, "line-loci" i "surface-loci". Unutar linija lokusi su "plane-loci" i "solid-loci". Ravni lokusi nastaju u ravnini, poput ravne linije. Čvrsti lokusi nastaju iz presjeka čvrste figure, tj. Cilindrične spirale i konusnih presjeka. Pappus dijeli ono što Proklo naziva čvrstim lokusima. On ovu kategoriju razbija na "linearne-lokuse" i "čvrste-lokuse", da se ne miješa s onim što Proklo naziva čvrstim lokusima. Čvrsti lokusi, prema Pappusu, presjeci su čunjeva (parabole, elipse i hiperbole), a linearni lokusi su složenije linije od ravnih linija, krugova i konusnih presjeka (Heath, 1961, str. Xxxiii).

S tim podacima, zajedno s Pappusovim odlomkom, Heath je izveo nekoliko zaključaka koji se tiču ​​djela Euklida i Aristaeusa koji se tiču ​​koničnih presjeka. Prvo, Aristaeusov tretman čvrstih lokusa koncentriranih na parabole, elipse i hiperbole, tj. Smatrao je da su konike lokusi. Drugo, Aristaeusov traktat o čvrstim lokusima bio je na prvom mjestu i sadržavao je više izvornih ideja i teorema od Euklidova. Pappus kaže da je Euclid pisao o osnovnoj teoriji konusnih presjeka, ciljajući na svoje prijedloge kako bi pripremio čitatelje za analizu čvrstih Aristaeusovih lokusa (Heath, 1961., str. Xxxii). U tom smislu, Heath primjećuje da su "Euklidovi koniki kompilacija i preuređivanje geometrije konika do sada poznate, dok je Aristaeusov rad bio specijaliziraniji i originalniji" (Heath, 1921, str. 116) -7). Treće, Aristaeus je koristio izraze "presjek pravokutnog, oštrouglog i tupokutog konusa", prihvaćene nazive za ove krivulje sve do Apolonija. Konačno, Euklidove konike su Apolonijevi nadomjestili Conic Sections.

Osim gore navedenih ideja, ključ koji treba izvući iz djela Aristaeusa i Euklida je to što su oni bili izvor na kojemu su matematičari temeljili svoj rad ili su se s njima barem savjetovali. To ćemo vidjeti na djelu dok nastavljamo razgovor s Arhimedom i Apolonijem.

Arhimed

"Nijedan pregled povijesti konusnih presjeka ne bi mogao biti potpun bez podnošljivo iscrpnog prikaza svega što se odnosi na tu temu što se može pronaći u postojećim Arhimedovim djelima" (Heath, 1961., str. Xli). Nema potkrijepljenih dokaza da je ikada napisao cijelo djelo posvećeno konusnim presjecima, ali njegovo poznavanje te teme očito je u djelima koja imamo. Među Arhimedovom raspravom objavljena je kvadratura parabole, konoidi i sferoidi, plutajuća tijela i ravninska ravnoteža. Ova djela imaju zajedničku nit-zahtijevaju opsežnu uporabu svojstava parabola, Arhimedove posebnosti među konusnim presjecima (Heath, 1921, str. 124).

Heath kaže da su Euklidovi koniki vjerojatni izvor iz kojeg Arhimed usvaja osnovne principe konike koje pretpostavlja bez dokaza (Heath, 1921, str. 122). On koristi "stare", prije Apolonijeve nazive za stožaste presjeke (tj. Presjek konusa s oštrim kutom = elipsa) (Heath, 1961., str. Xlii). Prije nego što nastavite, važno je razjasniti njegov rječnik. Promjere smatramo osama elipse (i glavnom i sporednom). Ova dva promjera su konjugirana. Os parabole naziva se i promjer, a ostali promjeri zovu se "linije paralelne s promjerom". Promjer hiperbole dio je osi koju smatramo osi unutar jednogranate hiperbole (Arhimed smatra da je druga grana dio iste krivulje). Središte hiperbole nazivalo se točkom u kojoj se susreću "najbliže crte presjeka konusa tupog kuta" (asimptote) (Heath, 1921, str. 122).

Heath navodi nekoliko pretpostavki koje je Arhimed napravio na temelju prethodnih djela poput Euklida i Aristaja. U odnosu na središnje stožce:

    Ravna linija povučena iz središta elipse ili točke presjeka asimptota hiperbole, kroz dodirnu točku bilo koje tangente, prepolovljuje sve tetive paralelne s tangentom U elipsi, tangente na krajevima bilo kojeg dva konjugirana promjera paralelna su s drugim promjerom. Ako je konus, desni ili kosi, prerezan ravninom koja zadovoljava sve generatore, presjek je ili kružnica ili elipsa. Ako se linija između asimptota susreće s hiperbolom i prepolovi se u točki sabiranja, dodirnut će hiperbolu. Ako su x, y ravne crte povučene, u fiksnim smjerovima, od točke na hiperboli prema asimetri, pravokutnik xy je stalan. U odnosu na parabole, paralelne tetive se dijele na jednu ravnu liniju paralelnu s osi, koja prolazi kroz dodirnu točku tangente paralelnu s akordima. Ako tangenta na Q zadovoljava promjer PV u T, a QV je ordinata na promjer, PV = PT [vidi Apolonije za definiciju ordinata]. Sve parabole su slične (Heath, 1921, str. 123-24)

Čini se da je priroda Arhimedovih spisa takva da on samo dokazuje ono što nije razumljivo očitovanom matematičaru. Međutim, ono što je bilo očito Arhimedu, ne podudara se uvijek s onim što je očito većini ljudi! Istim argumentom, tvrdnje koje Arhimed dokazuje vrlo su teške. Činilo se da se Arhimed nije manje bavio razvojem cjelovitog, sustavnog tretmana konika (koji je u svakom slučaju bio dostupan u sada izgubljenim djelima drugih), već da se koristi već utvrđenim i/ili lako dokazanim razvojem dubokih i izazovnih teorema . Iz tog razloga, ovaj rad, iako daje osnovnu pozadinu pretpostavki i osnovnih trendova Arhimedovog proučavanja, neće ispitivati ​​izvorne dokaze koje je dao.

Apolonije

Uz Euklida i Arhimeda, Apolonije je treći član trojca velikih geometrijskih umova stare Grčke. „Nije pretjerano reći da gotovo svaki značajniji geometrijski geometrijski element, sve do današnjeg dana uključujući današnje vrijeme, nalazi svoje podrijetlo u nekim djelima ova tri velika učenjaka“ (Eves, 1963., 25). O životu Apolonija poznata je samo mala količina podataka. Rođen je u gradu Perga, u Pamfiliji, koja se nalazila u južnoj Maloj Aziji, sada u Turskoj. I Eves i Heath dogovaraju datum ponovnog rođenja približno 262 godine prije Krista, to jest otprilike 25 godina nakon Arhimedova rođenja. Kao mladić otputovao je u Aleksandriju na učenje kod nasljednika Euklida. Njegov je procvat za vrijeme vladavine Ptolomeja Euergetesa ("Dobročinitelj", 247.-222. Pr. Kr.). Nastavio je biti priznati učenjak i za vrijeme vladavine Ptolomeja Filopatora (222-205. Pr. Kr.). (Heath, 1921., 126). Također je poznato da je posjetio Pergam, gdje je upoznao Eudema, kojemu je posvetio prve dvije knjige svojih koničnih odjeljaka (Heath, 1921., 126). Treća do sedma knjiga (a moguće i osma, koja je izgubljena) bile su posvećene kralju Atalu I. (241.-197. Pr. Kr.), Što je povjesničarima pomoglo u procjeni godina njegova života.

Četiri od osam Apolonijevih knjiga došle su do nas na grčkom. Osma knjiga je potpuno izgubljena - nemamo ni znanja o njezinu sadržaju. Knjige V-VII stigle su do nas u arapskom prijevodu, čiji je datum diskutabilan. Eves i Heath smatraju da je to prijevod iz devetog stoljeća (Eves, 1990., str. 171). Cajori, s druge strane, piše o prijevodu iz 1250., bez ikakvog spomena na onaj iz devetog stoljeća (Cajori, 1924, 38). Dva brata iz obitelji Muh, Ahmad i al-Hasan, prvi su put razmišljali o prijevodu konusnih odjeljaka na arapski jezik u devetom stoljeću. Gotovo su izgubili interes zbog lošeg stanja svojih rukopisa. Ahmad je dobio primjerak Eutocijevog izdanja Knjiga I-IV i dao ih je prevesti Abi Hilal al-Himsi (umro 883/4). Zatim je dao drugačiji rukopis knjiga V-VII Thabitu ibn Qurri (živio 826-901) da ga prevede. Potvrđujući Cajorino spominjanje prijevoda iz 1250., Heath izvješćuje da je 1248. godine Nasir ad-Din napravio još jedan prijevod (Heath, 1921., str. 127).

Apolonije svaku svoju preživjelu knjigu otvara predgovorom. Predgovor knjige I, koja služi kao opći predgovor za čitavu seriju, i knjige V, uključeni su u Dodatak A. Iz općeg predgovora saznajemo da su prve četiri knjige Konusnih odjeljaka dovršile i formalizirale prethodno djelo poznato Apolonija u to vrijeme. Prema Heathu, Apolonije nikada ne tvrdi da je materijal obuhvaćen u prve četiri knjige originalan, osim za određene teoreme iz knjige III, i istraživanja u knjizi IV. Međutim, on tvrdi da je njegova rasprava potpunija i rigoroznija od prethodnih djela na tu temu, što se slaže s komentarima Pappusa (Heath, 1961., str. Lxxvii). Za razliku od većine prve četiri knjige, knjige od pet do sedam pokrivale su nove koncepte koji su nadilazili "bitno". Heath kaže: Prava razlika između prve četiri knjige i pete sastoji se prije u činjenici da prva sadrži povezano i znanstveno izlaganje opće teorije konusnih presjeka kao neophodnu osnovu za daljnje proširenje teme u određenim posebnim smjerovima, dok je peta knjiga primjer takve specijalizacije, isto vrijedi i za šestu i sedmu knjigu (Heath, 1961, str. lxxvi).

Prije nego što ispitamo pojedinačne prijedloge iz konusnih presjeka, moglo bi biti prikladno spomenuti podrijetlo naziva konusnih presjeka kakvi ih danas poznajemo. Prema Evesu, izrazi "elipsa", "parabola" i "hiperbola" usvojeni su iz ranog pitagorejskog narodnog jezika koji se odnosi na "primjenu područja" (oblik "geometrijske algebre" zabilježen u Euklidovim elementima, knjiga II. Prilikom primjene pravokutnika prema segmentu linije [poravnavanjem jednog ruba pravokutnika prema segmentu s jednim kutom pravokutnika koji se podudara s jednom krajnjom točkom], "drugi" kut pravokutnika ili je pao, točno se susreo ili prešao kraj Ova tri slučaja nazvana su "elipsa", "parabola" ili "hiperbola". Eves pokazuje kako je te izraze u sličnom duhu primijenio Apolonije na konusne presjeke na sljedeći način:

    Neka je AB glavna os konusa. Neka je P bilo koja točka na stožcu. Neka je Q podnožje okomice na AB. Označite udaljenost AR, okomitu na AB udaljenošću koja je sada poznata kao latus rektum ili parametar krivulje. Primijenite na segment AR, pravokutnik koji za jednu stranu ima AQ i površinu jednaku (PQ) & sup2. Ako pravokutnik prelazi segment AR, onda je konica hiperbola. Ako se pravokutnik podudara s segmentom AR, onda je konica parabola. Ako pravokutnik ne dosegne segment AR, onda je konica elipsa. (Eves, 1963., str. 30-1)

Čini se da sam ovaj argument nije dokaz, pa čak ni definicija. Kako je napisano, zasigurno se ne pojavljuje u Apolonijevim konusnim odjeljcima, iako će kasnije, kad se raspravlja o njegovim prijedlozima, biti uočljiva sličnost. Čini se da se izjave Evea provjeravaju kad se slijede koraci. Prve tri izjave su jasne i zajedničke su za sva tri slučaja. Nije izričito navedeno, neka je F fokus danog presjeka konike, a K krajnja točka latus rektuma. Evo primjera (ne-grčkog) svakog od tri slučaja:

Prije nego što prijeđemo na Apolonijevu metodu dokazivanja ovih odnosa, bilo bi prikladno započeti, kao što je on učinio, definiranjem relevantnih pojmova.

Ako se ravna duljina neodređene duljine, koja uvijek prolazi kroz fiksnu točku, napravi tako da se kreće oko opsega kruga koji nije u istoj ravnini s točkom, tako da uzastopno prolazi kroz svaku točku tog opsega, pomicanjem ravne crte izvlačit će se površina dvostrukog stošca ili dva slična stošca koja leže u suprotnim smjerovima i sastaju se u fiksnoj točki, koja je vrh svakog stošca.

Krug oko kojeg se kreće ravna linija naziva se baza stošca koji se nalazi između spomenute kružnice i fiksne točke, a os je definirana kao ravna linija povučena od fiksne točke ili vrha do središta kružnice koja tvori baza.

Tako opisani konus je razmjeran ili kosi stožac, osim u posebnom slučaju gdje je os okomita na bazu. U ovom posljednjem slučaju stožac je desni stožac.

Ako je konus prerezan ravninom koja prolazi kroz vrh, rezultirajući presjek je trokut, dvije stranice su ravne linije koje leže na površini stošca, a treća stranica ravna linija koja je sjecište ravnine rezanja i ravnina baze.

Neka postoji stožac čiji je vrh A, a osnova kružnica BC, a O središte kruga, pa je AO os stošca. Pretpostavimo sada da je konus prerezan bilo kojom ravninom paralelnom s ravninom baze BC i DE, i neka os AO zadovolji ravninu DE u o. Neka je p bilo koja točka na sjecištu ravnine DE i površine stošca. Pridružite se Ap i izradite ga tako da zadovolji opseg kruga BC u P. Pridružite se OP, op.

Zatim, budući da ravnina prolazi kroz ravne AO, AP siječe dvije paralelne ravnine BC, DE u ravnim linijama OP, op, odnosno OP, op paralelne.

Budući da je BPC kružnica, OP ostaje konstantan za sve položaje p na krivulji DpE, a omjer Ao: Ao je također konstantan.

Stoga je op konstantan za sve točke na presjeku površine ravninom DE. Drugim riječima, taj odjeljak je krug.

Stoga su svi presjeci stošca paralelni s kružnom bazom kružnice (Heath, 1961, str. 1-2).

Konusni presjeci nastavljaju definirati promjer kao ravnu liniju koja presijeca svaki od niza paralelnih tetiva presjeka stošca. U svakom od donjih primjera, PP 'je promjer:

Na gornjim slikama, ako je QQ 'prepolovljen promjerom PP' pri V, tada se PV naziva ordinatom ili ravnom linijom povučenom po ordinati. Duljina PV odrezana od promjera bilo kojom ordinatom QV naziva se apscisa QV (Heath, 1961, str. 7-8).

Sada se okrećemo Apolonijevim definicijama konusnih presjeka pokušavajući ih povezati s gore navedenom definicijom koju je Eves dao. Slučaj parabole bit će naveden kao primjer Apolonijevog razvoja:

Najprije neka promjer PM presjeka bude paralelan s jednom od stranica aksijalnog trokuta kao AC, a neka je QV bilo koja ordinata s promjerom PM. Zatim, ako se uzme ravna PL (koja bi se trebala povući okomito na PM u ravnini presjeka) takve duljine da je PL: PA = BC & sup2: BA.AC, treba dokazati da je QV & sup2 = PL.PV

Neka se HK povuče kroz V paralelno s BC. Zatim, budući da je QV također paralelan s DE, slijedi da je ravnina kroz H, Q, K paralelna s bazom stošca i stoga proizvodi kružni presjek čiji je promjer HK. Također je QV pod pravim kutom prema HK.

Sada, sličnim trokutima i paralelama,

HV: PV = BC: AC i VK: PA = BC: BA.

Dakle, QV & sup2: PV.PA = PL: PA = PL.PV: PV.PA

Odatle slijedi da je kvadrat na bilo kojoj ordinati fiksnog promjera PM jednak pravokutniku primijenjenom na fiksnu ravnu liniju PL povučenu pod pravim kutom u odnosu na PM s visinom jednakom odgovarajućoj apscisi PV. Stoga se odjeljak naziva Parabola.

Fiksna ravna linija PL naziva se latus rectum, ili parametar ordinata.

Ovaj parametar, koji odgovara promjeru PM, bit će označen donjim simbolom p. Tako,

Ovaj se dokaz razlikuje od prethodno navedenog, jer je ranija vježba pretpostavljala da je fokus poznat. Apolonije bira PL na takav način da predstavlja latus rektum ili žarišnu širinu krivulje. Zbog ranijeg razvoja, svaka ravnina paralelna s bazom i potpuno presijecajući konus je kružnica. Korištenjem skupova paralelnih pravaca QV i DE, HK i BC, te kroz slične trokute HKA i BCA, slijedi prilično izravno kako Apolonije navodi. Baš kao u prethodnoj demonstraciji (Eves), kvadrat ordinate (QV & sup2) jednak je duljini latus rektuma (PL) puta apscisi QV (PV).

Apolonijeve definicije hiperbole i elipse slijede sličnu liniju. Za hiperbolu, područje pravokutnika (postavljeno jednako kvadratu ordinate) preklapa se s fiksnim latus rektumom. Za elipsu, područje pravokutnika ne doseže fiksni latus rektum. Ponavljajući od ranije, Heath sugerira da ove definicije ukazuju da nazivi potječu od pitagorejskih pojmova koji se odnose na primjenu područja na segmente.

Posljednja tema Apolonijevih konusnih presjeka koju treba razmotriti je njegov tretman tangenti. On razvija ovu temu u Knjizi I i Knjizi V. Knjiga V uvodi ideju "maksimalnih" i "minimalnih" linija koje se odnose na tangente, odnosno norme. Ova knjiga, koju Eves smatra "najznačajnijom i najoriginalnijom" od sedam koje danas imamo, brzo postaje vrlo teška za čitanje i praćenje. Propozicije i odnosi koje dokazuje, a koji se danas lakše prikazuju pomoću diferencijalnog računa, rigorozno su istraženi na klasični grčki geometrijski način (Heath, 1961, str. Lxxv-lxxvi). Preliminarne teoreme, međutim, nije strašno teško slijediti. Prvo ćemo pogledati dva prijedloga iz prve knjige o tangentama (jedan će biti naveden i raspravljen, drugi formalno dokazan), a zatim ćemo pogledati jedan teorem iz V knjige.

Propozicija 11 glasi: Ako se kroz ekstremitet promjera bilo koje stožnice paralelne s ordinatama do tog promjera povuče ravna crta, ona će dodirivati ​​konus i nijedna ravna linija ne može pasti između nje i konike (Heath, 1961., str. 22). Odnosno, nijedna ravna linija ne može stati između tangente i krivulje na koju je tangenta. Ovo se čini kao razumna izjava, povezana s definicijom tangente koja se kasnije koristila u razvoju računa (iako je, između ostalog, previše "globalna" po opsegu).

Apolonije to dokazuje u dva slučaja, jedan za parabolu, i jedan za elipsu, hiperbolu i krug [zanimljivo je da bi uključio krug].

Propozicija 12: Ako se uzme točka T na promjeru parabole izvan krivulje i suh da je TP = PV, gdje je V podnožje ordinate od Q do promjera PV, linija TQ dodirnut će parabolu.

Moramo dokazati da proizvedena ravna linija TQ ili TQ ne spadaju u krivulju s obje strane Q.

Jer, ako je moguće, neka K, točka na proizvedenom TQ ili TQ, padne unutar krivulje i kroz K povuče Q'KV 'paralelno s ordinatom i zadovoljava promjer u V' i krivulju u Q '.

Zatim Q'V '& sup2: QV & sup2> KV' & sup2: QV & sup2, prema hipotezi,> TV '& sup2: TV & sup2

Dakle, 4TP.PV ': 4TP.PV> TV' & sup2: TV & sup2

No, budući da prema hipotezi TV 'nije podijeljena u P,

što je apsurdno. Prema tome, TQ ni u jednom trenutku ne spada u krivulju, pa je stoga tangenta.

Brojka za ovaj dokaz kontradiktorno se može precrtati kako bi se pokazalo što se pretpostavlja da postoji točka K na TQ takva da K leži unutar parabole. Zatim konstruiramo KQ'V 'paralelno s ordinatom QV.

Zatim, koristeći našu pretpostavku da je Q'V '> KV', zadani TP = PV i slični trokuti TVP i TV'Q ', dolazimo do proturječja.

Sada prelazimo na Knjigu V kako bismo stekli dojam o Apolonijevoj ideji minimuma jednostavnim slučajem koncepta:

Propozicija 82 U paraboli, ako je E točka na osi takva da je AE jednak polovici latus rektuma, tada je minimalna ravna linija od E do krivulje AE i, ako je P bilo koja druga točka na krivulji, PE raste kako se P dalje pomiče od A s obje strane. Također, za bilo koju točku:

Neka je AL parametar ili latus rektum. Tada je PN & sup2 = AL.AN = 2AE.AN

Dodavanjem EN & sup2, imamo, EN & sup2 = 2AE.AN + EN & sup2 = 2AE.AN + (AE - AN) & sup2 = AE & sup2 + AN

Dakle, PE & sup2> AE & sup2 i povećavaju se s AN, tj. Kako se P kreće sve dalje od A. Također je minimalna vrijednost PE AE, ili je AE najkraća ravna linija od E do krivulje.

[U ovom prijedlogu, kao i mnogim drugim u knjizi V, Apolonije razmatra tri slučaja, gdje je N između A i E, gdje se N poklapa s E i PE (okomito na os), i gdje je AN veći od AE-mi ćemo razmotrite samo ovaj jedan slučaj radi sažetosti]

Dokaz počinje iznošenjem općeg odnosa između ordinate, apscise i latus rektuma parabole. Ovo je poseban slučaj parabole u kojoj se E bira na promjeru tako da je AE polovica latus rektuma, što se odražava u prepisivanju izvornog odnosa. Budući da je PN okomit na PE, EN & sup2 se dodaje objema stranicama jednadžbe, a zbog Pitagorine teoreme, lijeva strana jednadžbe smanjuje se na PE & sup2. Ostatak dokaza lako slijedi.

Zaključak

Ovaj je rad pokušao pružiti sustavni uvod u rad grčkih geometara uključenih u razvoj teorije konusnog presjeka. Počelo je s radom Menaechmusa, koji je prvi upotrijebio konike za rješavanje udvostručenja kocke. Nije poznato koliko je svojstava konika poznavao, iako je općeprihvaćeno da je znao da potječu od rezanja konusa. Nakon Menaechmusa, Aristaeus i Euclid formalizirali su se i proširili na konike (Aristaeus je bio originalniji). Zatim je došao veliki Arhimed, koji je koristio elementarnu teoriju konusnih presjeka za razvoj važnih koncepata o parabolama, i to proširio daleko izvan okvira ovog rada. Vrhunac teme došao je u ruke Apolonija, koji je u osam svezaka rigorozno razvio sve što se znalo o konusnim presjecima prije njega, i dodao mnoštvo prijedloga koji su mu bili izvorni (vjerujemo), toliko u stvari da Eves napominje: "Traktat je znatno potpuniji od uobičajenog današnjeg kolegija na predmetu".

Nakon ere ovih velikih matematičara, došlo je do zatišja u rastu stožastih presjeka sve do Papusa. Proširio je velik dio onoga što je poznato, a također se pokazao vrijednim izvorom za suvremene povjesničare matematike koji pokušavaju naučiti o grčkim metodama. Prolaskom Papusa i možda Prokla, konike su nestale više od 1000 godina sve dok se nisu ponovno rodile u 15. i 16. stoljeću. Iako su radovi znanstvenika i matematičara, poput Keplera koji je oboje, konike evoluirali od nove intelektualne vježbe u staroj Grčkoj, do moćnog alata za modeliranje za objašnjavanje fizičkih zakona svemira.

Odabrani predgovori za konične sektone (preveo Halley, tiskano na Heathu)

Apolonije Eudemu, pozdrav.

Ako ste dobrog zdravlja, a okolnosti su u drugom pogledu kako želite, dobro je da sam i ja podnošljivo dobro.Kad sam bio s vama u Pergamu, primijetio sam da ste bili željni upoznati moj rad u konikama pa vam šaljem prvu knjigu koju sam ispravio, a preostale knjige proslijedit ću kad ih završim na svoje zadovoljstvo. Usuđujem se reći da niste zaboravili da sam vam rekao da sam se bavio istraživanjem ove teme na zahtjev Naukrata, geometra u vrijeme kada je došao u Aleksandriju i ostao sa mnom, te da sam, nakon što sam to razradio u osam knjiga, priopćio njemu odjednom, pomalo prešutno, bez temeljite revizije (jer je bio na putu da plovi), ali spuštajući sve što mi je palo na pamet, s namjerom da im se kasnije vratim. Stoga sada koristim priliku da s vremena na vrijeme objavim svaki dio, koji se postupno ispravlja. No, budući da se dogodilo da su neke druge osobe koje su također bile sa mnom dobile prvu i drugu knjigu prije nego što su ispravljene, nemojte se iznenaditi ako ih pronađete u drugom obliku.

Sada od osam knjiga, prve četiri tvore elementarni uvod, prva sadrži načine proizvodnje tri odjeljka i suprotnih grana [hiperbole-Heatha] i njihova temeljna svojstva razrađena su potpunije i općenitije nego u spisima drugih autora druga se bavi svojstvima promjera i osi presjeka, kao i asimptotama i drugim stvarima od opće važnosti i potrebnima za određivanje granica mogućnosti, a što podrazumijevam pod promjerima i osama naučit ćete iz ove knjige. Treća knjiga sadrži mnoge izvanredne teoreme korisne za sintezu čvrstih lokusa i određivanje granica. Većina i najljepši od ovih teorema su novi, a kad sam ih otkrio, primijetio sam da Euklid nije razradio sintezu lokusa u odnosu na na tri i četiri retka, ali samo slučajni dio toga i to ne uspješno: jer nije bilo moguće da se sinteza mogla dovršiti bez mojih dodatnih otkrića. Četvrta knjiga prikazuje na koliko se načina presjeci čunjeva međusobno susreću, a opseg kruga sadrži i druge stvari, od kojih raniji pisci nisu raspravljali o ničemu u vezi s brojem točaka u kojima je presjek konusa ili opseg kruga susreće se [suprotne grane hiperbole-Heath].

Ostatak [knjiga-Heath] više je putem supluzicije [`naprednije ', ali doslovno implicira proširenje teme izvan pukih osnova-Heath u obliku fusnote]: jedna od njih se donekle u potpunosti bavi minimumima i maksimuma, jedan s jednakim i sličnim presjecima čunjeva, jedan s teoremima koji uključuju određivanje granica, a posljednji s određenim konusnim problemima.

Kad sve knjige budu objavljene, oni će, naravno, biti otvoreni onima koji ih pročitaju da ih ocijene kako žele. Doviđenja.

Apolonije Atalu, pozdrav.

U ovoj petoj knjizi iznio sam prijedloge koji se odnose na maksimalne i minimalne ravne linije. Morate znati da su se naši prethodnici i suvremenici samo površno dotakli istraživanja najkraćih linija i samo su dokazali koje ravne linije dodiruju presjeke i, obrnuto, koja svojstva imaju zbog čega su tangente. Sa svoje strane, ja sam dokazao ta svojstva u prvoj knjizi (bez ikakvog korištenja, u dokazima, nauka o najkraćim crtama) utoliko što sam ih želio staviti u blisku vezu s onim dijelom predmeta u kojem Obrađivao sam proizvodnju tri konusna presjeka, kako bih u isto vrijeme pokazao da se u svakom od tri presjeka pojavljuju bezbrojna svojstva i potrebni rezultati, kao što se to odnosi na izvorni (poprečni) promjer. Propozicije u kojima raspravljam o najkraćim crtama koje sam podijelio u klase i bavio se svakim pojedinačnim slučajem pažljivim demonstriranjem također sam povezao njihovo istraživanje s istraživanjem najvećih gore navedenih linija, jer sam smatrao da oni koji gaje ovo znanost ih je trebala za stjecanje znanja o analizi i određivanju problema, kao i za njihovu sintezu, bez obzira na činjenicu da je predmet jednog od onih koji se doimaju vrijednima proučavanja samih sebe. Doviđenja.


Kako su Grci promijenili ideju o zagrobnom životu

Njihovi tajni kultovi pomažu oblikovati način na koji razmišljamo o onome što se događa nakon smrti.

Svijet stare Grčke bio ispunjen bogovima, predvođeni visokim olimpijcima - Zeusom, Herom, Apolonom, Posejdonom, Atenom i drugim mitološkim divovima. Uz obožavanje ovih božanskih stanovnika Olimpa bilo je i stotine kultova usredotočenih na lokalna božanstva i heroje.

Ljudi su se molili tim bogovima iz istih razloga zbog kojih se mi danas molimo: za zdravlje i sigurnost, za prosperitet, za dobru žetvu, za sigurnost na moru. Uglavnom su se molili kao zajednice, te su prinosima i žrtvama nastojali ugoditi nedokučivim božanstvima za koja su vjerovali da im upravljaju životom.

Ali što se događa nakon smrti? U tome su stari gledali u Hada, boga podzemlja, brata Zeusa i Posejdona. Ali Had nije dao nikakvo uvjerenje. Zamotan u maglovitu tamu, presječen strašnom rijekom Styx, carstvo Had („neviđeno“) bilo je, kaže nam pjesnik Homer, mjesto „lijevanja užasa“ u koje su obični ljudi - pa čak i heroji - odlazili nakon što su umrli.

Simpatično zanimanje za ljudsko stanje na kraju je navelo Grke da usvoje nove oblike religije i nove kultove. Više se ne vidi kao sudbina bez radosti, zagrobni život postao je više osobna potraga. Tajanstveni kultovi, obavijeni tajnom, obećavali su smjernice za ono što će doći nakon smrti. Misteriozni obredi bili su intenzivno emocionalni i postavljeni poput razrađenog kazališta. Oni od velikih bogova na grčkom otoku Samotrakiji događali su se noću, a treperava vatra baklji ukazivala je na put za inicirane. Čuvani od smrti, rituali su do danas ostali tajanstveni.

Do četvrtog stoljeća prije Krista pojavili su se kultovi koji su tvrdili da nude pročišćenje čišćenjem iniciranih od mrlje čovječanstva. Temelji za nove religije padali su na svoje mjesto. A kad je kršćanstvo zahvatilo antički svijet, sa sobom je, zajedno s vodstvom jednog božanstva, ponijelo ostatke starih vjerovanja: ispiranje ljudske pokvarenosti kroz mistične obrede, različite sudbine koje čekaju započete i neupućene i pijetet prema svetih tekstova.


Gledaj video: Grčki Starac Geokon Upozorava na Katastrofu - Pomenuo je Srbiju. Ono Što Dolazi ne Daj Bože Nikom! (Srpanj 2022).


Komentari:

  1. Zulkizil

    Mogu puno govoriti za ovo pitanje.

  2. Reymundo

    In your place I would have received otherwise.

  3. Andrew

    Puno hvala na podršci kako vam mogu zahvaliti?

  4. Freeman

    BAD QUALITY BUT YOU CAN SEE

  5. Thang

    tvoja ideja jednostavno izvrsna



Napišite poruku